Hỏi đáp online nhanh chóng, chính xác và hoàn toàn miễn phí

 Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH (H thuộc BC)
1. nếu sin(ACB) = 3/5 và BC = 20cm. Tính các cạnh AB, AC.
2. đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng AC tại D. chứng minh AD.AC = BH.BC.
3. lấy điểm K thuộc đoạn AC. Kẻ KM vuông góc với HC tại M, KN vuông góc với AH tại N. chứng minh rằng NH.NA + MH.MC = KA.KC

Các câu 1, 2 có lẽ không cần giải thích

Gợi ý giải câu 3 bài toán như sau:
- ta có NKMH là hình chữ nhật theo giả thiết.
- tam giác AKN đồng dạng với tam giác ACH.
=> $$\frac{AN}{AK}=\frac{AH}{AC}(1)$$
$$\frac{KN}{KA}=\frac{CH}{CA}(2)$$
- tam giác KCM đồng dạng với tam giác ACH.
=>
$$\frac{KM}{KC}=\frac{AH}{AC}(3)$$
$$\frac{MC}{KC}=\frac{HC}{AC}(4)$$ theo đề bài ta cần chứng minh NH.NA + MH.MC = KA.KC hay (Chia 2 vế cho KA.KC) $$\frac{NH.NA}{KA.KC}+\frac{MH.MC}{KA.KC}=1$$ xét $$\frac{NH.NA}{KA.KC}=\frac{NA}{AK}.\frac{NH}{KC}=\frac{NA}{AK}.\frac{MK}{KC}=\frac{AH}{AC}.\frac{AH}{AC}=\frac{A{H}^2}{A{C}^2}(\ast <!--\; \ast \; -->)$$ (vì NH=KM và thay 1,3)

Tương tự $$\frac{MH.MC}{KA.KC}=\frac{MH}{AK}.\frac{MC}{KC}=\frac{NK}{AK}.\frac{MC}{KC}=\frac{CH}{CA}.\frac{CH}{CA}=\frac{C{H}^2}{C{A}^2}(\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->)$$ (vì MH=KN và thay 2, 4)

Cộng 2 vế * và ** $$\frac{NH.NA}{KA.KC}+\frac{MH.MC}{KA.KC}=\frac{A{H}^2}{A{C}^2}+\frac{C{H}^2}{C{A}^2}$$ $$=\frac{A{H}^2+C{H}^2}{C{A}^2}=\frac{C{A}^2}{C{A}^2}=1$$

(định lý pitago cho tam giác vuông AHC) =>(Điều phải chứng minh) ./.